Trigonometrie Beispiele

$\cos (22.5)$

Schritt 1

Um Grad in Bogenmaß umzurechnen, multipliziere mit $\frac{π}{180 °}$ , da ein Vollkreis $360 °$ oder $2 π$ rad ist.

Schritt 2

Der genau Wert von $\cos (22.5)$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $22.5$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\cos (\frac{45}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im ersten Quadranten positiv ist.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.5

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.5.4

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.5.5

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.5.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 3

Multipliziere $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{π}{180}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ mit $\frac{π}{180}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} π}{2 \cdot 180}$ Radiant

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $180$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} π}{360}$ Radiant