Trigonometrie Beispiele

sin (105)

$\sin (105)$

Schritt 1

Um Grad in Bogenmaß umzurechnen, multipliziere mit

\frac{π}{180 °}

$\frac{π}{180 °}$ , da ein Vollkreis

360 °

$360 °$ oder

2 π

$2 π$ rad ist.

Schritt 2

Der genau Wert von

sin (105)

$\sin (105)$ ist

\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

sin (75) \cdot \frac{π}{180}

$\sin (75) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.2

Teile

75

$75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

sin (30 + 45) \cdot \frac{π}{180}

$\sin (30 + 45) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

(sin (30) cos (45) + cos (30) sin (45)) \cdot \frac{π}{180}

$(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.4

Der genau Wert von

sin (30)

$\sin (30)$ ist

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

(\frac{1}{2} \cdot cos (45) + cos (30) sin (45)) \cdot \frac{π}{180}

$(\frac{1}{2} \cdot \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.5

Der genau Wert von

cos (45)

$\cos (45)$ ist

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + cos (30) sin (45)) \cdot \frac{π}{180}

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.6

Der genau Wert von

cos (30)

$\cos (30)$ ist

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot sin (45)) \cdot \frac{π}{180}

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.7

Der genau Wert von

sin (45)

$\sin (45)$ ist

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Multipliziere

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.8.1.1.1

Mutltipliziere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ mit

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}

$(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.1.1.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.1.2

Multipliziere

\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.8.1.2.1

Mutltipliziere

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \frac{π}{180}

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.1.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \cdot \frac{π}{180}

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.1.2.3

Mutltipliziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \cdot \frac{π}{180}

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.1.2.4

Mutltipliziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \cdot \frac{π}{180}

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \cdot \frac{π}{180}

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \cdot \frac{π}{180}

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{π}{180}

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{π}{180}

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{π}{180}

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 3

Multipliziere

\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{π}{180}

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere

\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ mit

\frac{π}{180}

$\frac{π}{180}$ .

\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) π}{4 \cdot 180}

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) π}{4 \cdot 180}$ Radiant

Schritt 3.2

Mutltipliziere

4

$4$ mit

180

$180$ .

\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) π}{720}

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) π}{720}$ Radiant

\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) π}{720}

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) π}{720}$ Radiant