Trigonometrie Beispiele

$f (x) = - 3 \sin (\frac{π x}{10} - \frac{2 π}{5}) - 1$

Schritt 1

Wende die Form $a \sin (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = - 3$

$b = \frac{π}{10}$

$c = \frac{2 π}{5}$

$d = - 1$

Schritt 2

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $3$

Schritt 3

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 3.1

Ermittele die Periode von $- 3 \sin (\frac{π x}{10} - \frac{2 π}{5})$ .

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Schritt 3.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.1.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{10}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{10} |}$

Schritt 3.1.3

$\frac{π}{10}$ ist ungefähr $0.31415926$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{10}}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{10}{π}$

Schritt 3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.1.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{10}{π}$

Schritt 3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{10}{π}$

Schritt 3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 10$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$20$

Schritt 3.2

Ermittele die Periode von $- 1$ .

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Schritt 3.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{10}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{10} |}$

Schritt 3.2.3

$\frac{π}{10}$ ist ungefähr $0.31415926$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{10}}$

Schritt 3.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{10}{π}$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{10}{π}$

Schritt 3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{10}{π}$

Schritt 3.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 10$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$20$

Schritt 3.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$20$

Schritt 4

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 4.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{\frac{2 π}{5}}{\frac{π}{10}}$

Schritt 4.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $\frac{2 π}{5} \cdot \frac{10}{π}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

Phasenverschiebung: $\frac{π \cdot 2}{5} \cdot \frac{10}{π}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{π \cdot 2}{5} \cdot \frac{10}{π}$

Schritt 4.4.3

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $\frac{2}{5} \cdot 10$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

Phasenverschiebung: $\frac{2}{5} \cdot (5 (2))$

Schritt 4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{2}{5} \cdot (5 \cdot 2)$

Schritt 4.5.3

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $2 \cdot 2$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

Phasenverschiebung: $4$

Schritt 5

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $3$

Periode: $20$

Phasenverschiebung: $4$ ( $4$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $- 1$

Schritt 6