Trigonometrie Beispiele

$y = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot (x + 4))$

Schritt 1

Schreibe den Ausdruck zu $4 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) - 3$ um.

$4 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) - 3$

Schritt 2

Wende die Form $a \cos (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 4$

$b = \frac{5 π}{6}$

$c = - \frac{10 π}{3}$

$d = - 3$

Schritt 3

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $4$

Schritt 4

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Periode von $4 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})$ .

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Schritt 4.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.1.2

Ersetze $b$ durch $\frac{5 π}{6}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{5 π}{6} |}$

Schritt 4.1.3

$\frac{5 π}{6}$ ist ungefähr $2.61799387$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{5 π}{6}}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{6}{5 π}$

Schritt 4.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{6}{5 π}$

Schritt 4.1.5.2

Faktorisiere $π$ aus $5 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{6}{π \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{6}{π \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{6}{5})$

Schritt 4.1.6

Kombiniere $2$ und $\frac{6}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 6}{5}$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{12}{5}$

Schritt 4.2

Ermittele die Periode von $- 3$ .

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Schritt 4.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.2

Ersetze $b$ durch $\frac{5 π}{6}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{5 π}{6} |}$

Schritt 4.2.3

$\frac{5 π}{6}$ ist ungefähr $2.61799387$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{5 π}{6}}$

Schritt 4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{6}{5 π}$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.2.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{6}{5 π}$

Schritt 4.2.5.2

Faktorisiere $π$ aus $5 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{6}{π \cdot 5}$

Schritt 4.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{6}{π \cdot 5}$

Schritt 4.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{6}{5})$

Schritt 4.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{6}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 6}{5}$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{12}{5}$

Schritt 4.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$\frac{12}{5}$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{- \frac{10 π}{3}}{\frac{5 π}{6}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $- \frac{10 π}{3} \cdot \frac{6}{5 π}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 π$ .

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Schritt 5.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{10 π}{3}$ in den Zähler.

Phasenverschiebung: $\frac{- 10 π}{3} \cdot \frac{6}{5 π}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $5 π$ aus $- 10 π$ heraus.

Phasenverschiebung: $\frac{5 π (- 2)}{3} \cdot \frac{6}{5 π}$

Schritt 5.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{5 π \cdot - 2}{3} \cdot \frac{6}{5 π}$

Schritt 5.4.4

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $\frac{- 2}{3} \cdot 6$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

Phasenverschiebung: $\frac{- 2}{3} \cdot (3 (2))$

Schritt 5.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Schritt 5.5.3

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $- 2 \cdot 2$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

Phasenverschiebung: $- 4$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $4$

Periode: $\frac{12}{5}$

Phasenverschiebung: $- 4$ ( $4$ nach links)

Vertikale Verschiebung: $- 3$

Schritt 7