Trigonometrie Beispiele

$y = 1 - 3 \cdot \cos (\frac{π}{8} x - \frac{π}{2})$

Schritt 1

Schreibe den Ausdruck zu $- 3 \cos (\frac{π x}{8} - \frac{π}{2}) + 1$ um.

$- 3 \cos (\frac{π x}{8} - \frac{π}{2}) + 1$

Schritt 2

Wende die Form $a \cos (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = - 3$

$b = \frac{π}{8}$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 1$

Schritt 3

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $3$

Schritt 4

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Periode von $- 3 \cos (\frac{π x}{8} - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 4.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.1.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{8}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{8} |}$

Schritt 4.1.3

$\frac{π}{8}$ ist ungefähr $0.39269908$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{8}}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{8}{π}$

Schritt 4.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{8}{π}$

Schritt 4.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{8}{π}$

Schritt 4.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 8$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16$

Schritt 4.2

Ermittele die Periode von $1$ .

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Schritt 4.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{8}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{8} |}$

Schritt 4.2.3

$\frac{π}{8}$ ist ungefähr $0.39269908$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{8}}$

Schritt 4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{8}{π}$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.2.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{8}{π}$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{8}{π}$

Schritt 4.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 8$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16$

Schritt 4.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$16$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{\frac{π}{2}}{\frac{π}{8}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{2} \cdot \frac{8}{π}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{2} \cdot \frac{8}{π}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $\frac{1}{2} \cdot 8$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

Phasenverschiebung: $\frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

Schritt 5.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 5.5.3

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $4$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $3$

Periode: $16$

Phasenverschiebung: $4$ ( $4$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $1$

Schritt 7