Trigonometrie Beispiele

$\sec (105)$

Schritt 1

Ersetze $\sec (105)$ durch einen äquivalenten Ausdruck $\frac{1}{\cos (105)}$ unter Verwendung der fundamentalen Identitätsgleichungen.

$\frac{1}{\cos (105)}$

Schritt 2

Wende eine Summen- oder Differenzformel auf den Nenner an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Teile den Winkel zunächst in zwei Winkel auf, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind. In diesem Fall kann $105$ in $45 + 60$ aufgeteilt werden.

$\frac{1}{\cos (45 + 60)}$

Schritt 2.2

Wende die Summenformel für den Kosinus an, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\cos (A + B) = - (\cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B))$ .

$\frac{1}{\cos (60) \cdot \cos (45) - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Schritt 2.3

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{\cos (60) \cdot \cos (45) - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Der genau Wert von $\cos (60)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \cos (45) - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Schritt 2.4.2

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Schritt 2.4.3

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Schritt 2.4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

Schritt 2.4.4

Der genau Wert von $\sin (60)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (45)}$

Schritt 2.4.5

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 2.4.6

Multipliziere $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.4.6.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.4.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.4.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ mit $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{(\sqrt{2} - \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Schritt 3.6

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{4 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

$\frac{4 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{- 4}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{6})$

Schritt 3.8.2

Schreibe $- 1 \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ als $- (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ um.

$- (\sqrt{2} + \sqrt{6})$

Schritt 3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{2} - \sqrt{6}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \sqrt{2} - \sqrt{6}$

Dezimalform:

$- 3.86370330 \dots$