Trigonometrie Beispiele

$\cot (165)$

Schritt 1

Ersetze $\cot (165)$ durch einen äquivalenten Ausdruck $\frac{1}{\tan (165)}$ unter Verwendung der fundamentalen Identitätsgleichungen.

$\frac{1}{\tan (165)}$

Schritt 2

Wende eine Summen- oder Differenzformel auf den Nenner an.

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Schritt 2.1

Teile den Winkel zunächst in zwei Winkel auf, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind. In diesem Fall kann $165$ in $120 + 45$ aufgeteilt werden.

$\frac{1}{\tan (120 + 45)}$

Schritt 2.2

Benutze die Summenformel für den Tangens, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{1}{\frac{\tan (120) + \tan (45)}{1 - \tan (120) \tan (45)}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{1}{\frac{- \tan (60) + \tan (45)}{1 - \tan (120) \tan (45)}}$

Schritt 2.3.2

Der genau Wert von $\tan (60)$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + \tan (45)}{1 - \tan (120) \tan (45)}}$

Schritt 2.3.3

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - \tan (120) \tan (45)}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.1

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \tan (60) \tan (45)}}$

Schritt 2.4.2

Der genau Wert von $\tan (60)$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (45)}}$

Schritt 2.4.3

Multipliziere $- - \sqrt{3}$ .

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + 1 \sqrt{3} \tan (45)}}$

Schritt 2.4.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (45)}}$

Schritt 2.4.4

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}}$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}}$

Schritt 2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}}$

Schritt 2.6.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{1}{\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache.

$\frac{1}{\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.7.2

Potenziere $1 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.7.3

Potenziere $1 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}}$

Schritt 2.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}}$

Schritt 2.8

Schreibe ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ als $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ um.

$\frac{1}{\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.9

Multipliziere $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.2

Mutltipliziere $- \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 2.10.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.10.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.10.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}}$

Schritt 2.10.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{1}{\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.10.3

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von $- \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 - 2 \sqrt{3}$ und $- 2$ .

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Schritt 2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.11.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{1}{\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.11.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{1}{\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.11.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 - \sqrt{3}}{- 1}$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})}$

Schritt 2.12

Schreibe $- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$ als $- (2 - \sqrt{3})$ um.

$\frac{1}{- (2 - \sqrt{3})}$

Schritt 2.13

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{- 1 \cdot 2 + \sqrt{3}}$

Schritt 2.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{- 2 + \sqrt{3}}$

Schritt 2.15

Multipliziere $- - \sqrt{3}$ .

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Schritt 2.15.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{- 2 + 1 \sqrt{3}}$

Schritt 2.15.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 2 + \sqrt{3}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{- 2 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{- 2 - \sqrt{3}}{- 2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{- 2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 - \sqrt{3}}{- 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{- 2 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{- 2 - \sqrt{3}}{- 2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- 2 - \sqrt{3}}{(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})}$

Schritt 3.3

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{- 2 - \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

$\frac{- 2 - \sqrt{3}}{1}$

Schritt 3.5

Dividiere $- 2 - \sqrt{3}$ durch $1$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 2 - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$- 3.73205080 \dots$