Trigonometrie Beispiele

$\cot (\frac{7 π}{12})$

Schritt 1

Ersetze $\cot (\frac{7 π}{12})$ durch einen äquivalenten Ausdruck $\frac{1}{\tan (\frac{7 π}{12})}$ unter Verwendung der fundamentalen Identitätsgleichungen.

$\frac{1}{\tan (\frac{7 π}{12})}$

Schritt 2

Wende eine Summen- oder Differenzformel auf den Nenner an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Teile den Winkel zunächst in zwei Winkel auf, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind. In diesem Fall kann $\frac{7 π}{12}$ in $\frac{π}{4} + \frac{π}{3}$ aufgeteilt werden.

$\frac{1}{\tan (\frac{π}{4} + \frac{π}{3})}$

Schritt 2.2

Benutze die Summenformel für den Tangens, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}}$

Schritt 2.3.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot (1 \tan (\frac{π}{3}))}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \tan (\frac{π}{3})}}$

Schritt 2.4.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \sqrt{3}}}$

Schritt 2.4.4

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}}$

Schritt 2.6

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}}$

Schritt 2.6.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache.

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Potenziere $1 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.7.2

Potenziere $1 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}}$

Schritt 2.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}}$

Schritt 2.8

Schreibe ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ um.

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.9

Multipliziere $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}}$

Schritt 2.10.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}}$

Schritt 2.10.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{1}{\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.10.3

Addiere $\sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 + 2 \sqrt{3}$ und $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

Schritt 2.11.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{1}{\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.11.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Schritt 2.11.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})}$

Schritt 2.12

Schreibe $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ als $- (2 + \sqrt{3})$ um.

$\frac{1}{- (2 + \sqrt{3})}$

Schritt 2.13

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 2.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})}$

Schritt 3.3

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{1}$

Schritt 3.5

Dividiere $- 2 + \sqrt{3}$ durch $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 2 + \sqrt{3}$

Dezimalform:

$- 0.26794919 \dots$