Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1

Use a sum or difference formula on the numerator.

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Schritt 1.1

Der Winkel $\frac{π}{3}$ ist ein Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind. Da dies der Fall ist, addiere $0$ , um den Wert gleich zu halten.

$\frac{(\tan (\frac{π}{3} + 0)) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.2

Benutze die Summenformel für den Tangens, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{(\frac{\tan (\frac{π}{3}) + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3} + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.3.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3} + 0}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.3.3

Addiere $\sqrt{3}$ und $0$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.4.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \cdot 0}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.4.3

Multipliziere $- \sqrt{3} \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 + 0 \sqrt{3}}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.4.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{3}$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 + 0}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.4.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.5

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$\frac{(\sqrt{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.6

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.7

Der Winkel $\frac{π}{4}$ ist ein Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind. Da dies der Fall ist, addiere $0$ , um den Wert gleich zu halten.

$\frac{\sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4} + 0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.8

Benutze die Summenformel für den Tangens, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} (\tan (\frac{π}{4}) + \tan (0))}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.9.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1 + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.9.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1 + 0}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.9.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.10.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \cdot (1 \tan (0))}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.10.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \cdot 0}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.10.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 + 0}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.10.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 1.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 2.1.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

Schritt 2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

Schritt 2.3.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 2.4.2

Potenziere $1 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 2.4.3

Potenziere $1 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Schritt 2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Schritt 2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Schritt 2.5

Schreibe ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ um.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 2.6

Multipliziere $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 2.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 2.7.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 2.7.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 2.7.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

Schritt 2.7.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

Schritt 2.7.1.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

Schritt 2.7.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Schritt 2.7.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 2.7.3

Addiere $\sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 + 2 \sqrt{3}$ und $- 2$ .

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 2.8.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 2.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 2.8.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

Schritt 2.9

Schreibe $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ als $- (2 + \sqrt{3})$ um.

$- (2 + \sqrt{3})$

Schritt 2.10

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 2 - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$- 3.73205080 \dots$