Trigonometrie Beispiele

$\sin (\arcsin (\frac{1}{6}) + \arctan (- 5))$

Schritt 1

Wende die Summenformel für den Sinus an, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\sin (\arcsin (\frac{1}{6})) \cos (\arctan (- 5)) + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 2

Entferne die Klammern.

$\sin (\arcsin (\frac{1}{6})) \cos (\arctan (- 5)) + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$\frac{1}{6} \cos (\arctan (- 5)) + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.2

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, - 5)$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (- 5)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, - 5)$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arctan (- 5))$ $\frac{\sqrt{26}}{26}$ .

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{26}}$ mit $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26} \sqrt{26}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.2.2

Potenziere $\sqrt{26}$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} \sqrt{26}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.2.3

Potenziere $\sqrt{26}$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} {\sqrt{26}}^{1}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1 + 1}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{2}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.2.6

Schreibe ${\sqrt{26}}^{2}$ als $26$ um.

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Schritt 3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{26}$ als $26^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{{(26^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26^{1}} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.3

Multipliziere $\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{26}}{26}$ .

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{\sqrt{26}}{26}$ .

$\frac{\sqrt{26}}{6 \cdot 26} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $26$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \cos (\arcsin (\frac{1}{6})) \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.4

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{6})}^{2}}, \frac{1}{6})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{6})}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (\frac{1}{6})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{6})}^{2}}, \frac{1}{6})$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (\frac{1}{6}))$ $\sqrt{\frac{35}{36}}$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \sqrt{\frac{35}{36}} \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.5

Schreibe $\sqrt{\frac{35}{36}}$ als $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{36}}$ um.

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{36}} \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{6^{2}}} \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} \sin (\arctan (- 5))$

Schritt 3.7

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{26}}$ mit $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{\sqrt{26} \sqrt{26}})$

Schritt 3.7.2

Potenziere $\sqrt{26}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} \sqrt{26}})$

Schritt 3.7.3

Potenziere $\sqrt{26}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} {\sqrt{26}}^{1}})$

Schritt 3.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1 + 1}})$

Schritt 3.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{2}})$

Schritt 3.7.6

Schreibe ${\sqrt{26}}^{2}$ als $26$ um.

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Schritt 3.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{26}$ als $26^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{{(26^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 3.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 3.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 3.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 3.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26^{1}})$

Schritt 3.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{26}}{156} + \frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26})$

Schritt 3.8

Multipliziere $\frac{\sqrt{35}}{6} (- \frac{5 \sqrt{26}}{26})$ .

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{35}}{6}$ mit $\frac{5 \sqrt{26}}{26}$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} - \frac{\sqrt{35} (5 \sqrt{26})}{6 \cdot 26}$

Schritt 3.8.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{26}}{156} - \frac{5 \sqrt{35 \cdot 26}}{6 \cdot 26}$

Schritt 3.8.3

Mutltipliziere $35$ mit $26$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} - \frac{5 \sqrt{910}}{6 \cdot 26}$

Schritt 3.8.4

Mutltipliziere $6$ mit $26$ .

$\frac{\sqrt{26}}{156} - \frac{5 \sqrt{910}}{156}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{26} - 5 \sqrt{910}}{156}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{26} - 5 \sqrt{910}}{156}$

Dezimalform:

$- 0.93417956 \dots$