Trigonometrie Beispiele

$2 \sin (15) \cos (15)$

Schritt 1

Der Komplementwinkel von $2 \sin (15) \cos (15)$ ist der Winkel, dessen Addition zu $2 \sin (15) \cos (15)$ einen rechten Winkel ( $90 °$ ) ergibt.

$90 ° - 2 \sin (15) \cos (15)$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Der genau Wert von $\sin (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

Schritt 2.1.2

Separiere die Negation.

Schritt 2.1.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

Schritt 2.1.4

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Schritt 2.1.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Schritt 2.1.6

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Schritt 2.1.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

Schritt 2.1.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Schritt 2.1.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

Schritt 2.1.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

Schritt 2.1.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

Schritt 2.1.8.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Schritt 2.1.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

Schritt 2.1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.2.4

Forme den Ausdruck um.

Schritt 2.3

Schreibe $- 1 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ als $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ um.

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\cos (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

Schritt 2.4.2

Separiere die Negation.

Schritt 2.4.3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

Schritt 2.4.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Schritt 2.4.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Schritt 2.4.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Schritt 2.4.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

Schritt 2.4.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Schritt 2.4.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

Schritt 2.4.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

Schritt 2.4.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

Schritt 2.4.8.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

Schritt 2.4.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

Schritt 2.4.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$90 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 °}$

Schritt 2.5

Multipliziere $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ mit $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ .

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$90 - \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Multipliziere $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$90 - \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$90 - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$90 - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$90 - \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$90 - \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.3

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$90 - \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$90 - \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.5

Multipliziere $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$90 - \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$90 - \frac{6 - \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.6

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$90 - \frac{6 - \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$90 - \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$90 - \frac{6 - (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.11

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1.11.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.11.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.13

Multipliziere $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1.13.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.13.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.13.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.13.4

Addiere $1$ und $1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.14

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1.14.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.14.4.2

Forme den Ausdruck um.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.14.5

Berechne den Exponenten.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8 °}$

Schritt 2.6.2.1.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2}{8 °}$

Schritt 2.6.2.2

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$90 - \frac{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{8 °}$

Schritt 2.6.2.3

Addiere $- 2 \sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$90 - \frac{4 + 0}{8 °}$

Schritt 2.6.2.4

Addiere $4$ und $0$ .

$90 - \frac{4}{8 °}$

Schritt 2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$90 - \frac{4 (1)}{8 °}$

Schritt 2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

Schritt 2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$90 - \frac{1}{2 °}$

Schritt 3

Um $90$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$90 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 °}$

Schritt 4

Kombiniere $90$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{90 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 °}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{90 \cdot 2 - 1}{2 °}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $90$ mit $2$ .

$\frac{180 - 1}{2 °}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1$ von $180$ .

$\frac{179}{2 °}$