Trigonometrie Beispiele

$\cos (22.5)$

Schritt 1

Der Ergänzungswinkel von $\cos (22.5)$ ist der Winkel, dessen Addition zu $\cos (22.5)$ einen gestreckten Winkel ( $180 °$ ) ergibt.

$180 ° - \cos (22.5)$

Schritt 2

Der genau Wert von $\cos (22.5)$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $22.5$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

Schritt 2.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

Schritt 2.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im ersten Quadranten positiv ist.

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Schritt 2.5

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

Schritt 2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

Schritt 2.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Schritt 2.5.4

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

Schritt 2.5.5

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

Schritt 2.5.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$180 - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 °}$

Schritt 3

Um $180$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$180 \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 °}$

Schritt 4

Kombiniere $180$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{180 \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 °}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{180 \cdot 2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 °}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $180$ mit $2$ .

$\frac{360 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 °}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{360 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 °}$

Dezimalform:

$179.07612046 \dots$