Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)} = 2 \sec (t)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Um $\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 2.2

Um $\frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + \sin (t)) \cos (t)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)}$ mit $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{(1 + \sin (t)) \cos (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)}$ mit $\frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{(1 + \sin (t)) \cos (t)} + \frac{(1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 + \sin (t)) \cos (t)$ um.

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} + \frac{(1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + (1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $\cos (t) \cos (t)$ .

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos (t) + (1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.1.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t) + (1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (t)}^{1 + 1} + (1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + (1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.2

Multipliziere $(1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 (1 + \sin (t)) + \sin (t) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (t) + \sin (t) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (t) + \sin (t) \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + 1 \sin (t) + \sin (t) \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.3.1.2

Mutltipliziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.3.1.3

Mutltipliziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) + \sin (t) \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.3.1.4

Multipliziere $\sin (t) \sin (t)$ .

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Schritt 2.5.3.1.4.1

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.3.1.4.2

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) + \sin^{2} (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.3.2

Addiere $\sin (t)$ und $\sin (t)$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.4

Schreibe $\cos^{2} (t) + 1 + 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.5.4.1

Gruppiere die Terme um.

$\frac{\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) + 1 + 2 \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.4.2

Ordne Terme um.

$\frac{\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) + 1 + 2 \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.4.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 + 1 + 2 \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 + 2 \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 + 2 \sin (t)$ heraus.

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Schritt 2.5.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.5.4.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 \sin (t)$ heraus.

$\frac{2 (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \sin (t)$ .

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Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Schritt 2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{\cos (t)}$

Schritt 3

Schreibe $\frac{2}{\cos (t)}$ als $2 \sec (t)$ um.

$2 \sec (t)$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)} = 2 \sec (t)$ ist eine Identitätsgleichung