Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)} = \frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\cot (x) - \cos (x)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 3

Schreibe $\cos (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 4

Kombinieren.

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{1 \sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 5

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{1 \sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 7

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 8.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)$ heraus.

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ heraus.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Schritt 8.3.1.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos (x)$ heraus.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1}$

Schritt 8.3.1.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1$ heraus.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

Schritt 8.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1 \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)})}$

Schritt 8.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{\sin (x)})}$

Schritt 8.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 8.4

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1 - \sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) (1 - \sin (x))}{\sin (x)}}$

Schritt 8.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))})$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$ mit $1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 8.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - \sin (x)$ .

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Schritt 8.7.1

Faktorisiere $1 - \sin (x)$ aus $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ heraus.

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Schritt 8.7.2

Faktorisiere $1 - \sin (x)$ aus $\cos (x) (1 - \sin (x))$ heraus.

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)}$

Schritt 8.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)}$

Schritt 8.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.8.2

Forme den Ausdruck um.

$(1 + \sin (x)) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 8.9

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 8.10

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 8.11

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 10

Schreibe $\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ als $\frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$ um.

$\frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$

Schritt 11

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)} = \frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$ ist eine Identitätsgleichung