Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \tan (x)}{\sin (x)} = \csc (x) - \sec (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1 - \tan (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$

Schritt 3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 4

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\csc (x) - \sec (x)$

Schritt 5

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 5.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{1}{\sin (x)} - \sec (x)$

Schritt 5.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 6

Subtrahiere Brüche.

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Schritt 6.1

Um $\frac{1}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 6.2

Um $- \frac{1}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sin (x) \cos (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 6.3.3

Stelle die Faktoren von $\sin (x) \cos (x)$ um.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1 - \tan (x)}{\sin (x)} = \csc (x) - \sec (x)$ ist eine Identitätsgleichung