Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1} = 1$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1}$

Schritt 2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + 1 \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 3.2

Um $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 3.3

Um $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ mit $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Faktoren von $(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))$ um.

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)} + \frac{\sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Schritt 3.6.2

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 3.6.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Schritt 3.6.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Schritt 3.6.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Schritt 3.6.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Schritt 3.6.4

Addiere $\sin (x)$ und $\sin (x)$ .

$\frac{1 + {\sin (x)}^{2} + 2 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Schritt 3.6.5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.6.5.1

Ordne Terme um.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Schritt 3.6.5.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Schritt 3.6.5.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 \sin (x) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (x)$

Schritt 3.6.5.4

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Schritt 3.6.5.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 1$ und $b = \sin (x)$ .

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(1 + \sin (x))}^{2}$ und $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x) + 1}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \sin (x)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1} = 1$ ist eine Identitätsgleichung