Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)} = \cot (x) \csc (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)}$

Schritt 2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Um $- \cos (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.2

Kombiniere $- \cos (x)$ und $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{1 - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.4.1

Multipliziere $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 3.1.4.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.4.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\frac{1 - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.4.2

Schreibe $1 - {\cos (x)}^{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.1.4.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{\frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Schritt 3.1.4.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \cos (x)$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)}}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) \cdot 1 + (1 + \cos (x)) (- \cos (x))}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $1 + \cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) + (1 + \cos (x)) (- \cos (x))}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (- \cos (x))}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- \cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))}$

Schritt 5.1.4

Multipliziere $\cos (x) (- \cos (x))$ .

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Schritt 5.1.4.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}$

Schritt 5.1.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}$

Schritt 5.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Schritt 5.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\cos (x)$ von $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + 0 - {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 5.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7

Schreibe $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ als $\cot (x) \csc (x)$ um.

$\cot (x) \csc (x)$

Schritt 8

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)} = \cot (x) \csc (x)$ ist eine Identitätsgleichung