Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{\sec (x) - 1} - \frac{1}{\sec (x) + 1} = 2 \cot^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1}{\sec (x) - 1} - \frac{1}{\sec (x) + 1}$

Schritt 2

Subtrahiere Brüche.

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Schritt 2.1

Um $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} - \frac{1}{\sec (x) + 1}$

Schritt 2.2

Um $- \frac{1}{\sec (x) + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} - \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ mit $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} - \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ mit $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} - \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ um.

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} - \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sec (x) + 1 - (\sec (x) - 1)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sec (x) + 1 - \sec (x) - - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sec (x) + 1 - \sec (x) + 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\sec (x)$ von $\sec (x)$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1 + 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Schritt 4

Vereinfache Nenner.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{\sec (x) (\sec (x) - 1) + 1 (\sec (x) - 1)}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 (\sec (x) - 1)}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{2}{\sec^{2} (x) - 1}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{2}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 6

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 6.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{2}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{2}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 7.2

Kombiniere $2$ und $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8

Schreibe $\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ als $2 \cot^{2} (x)$ um.

$2 \cot^{2} (x)$

Schritt 9

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\sec (x) - 1} - \frac{1}{\sec (x) + 1} = 2 \cot^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung