Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{\tan (b)} + \tan (b) = \frac{\sec^{2} (b)}{\tan (b)}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{\sec^{2} (b)}{\tan (b)}$

Schritt 2

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\tan^{2} (b) + 1}{\tan (b)}$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Schreibe $\tan (b)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{{(\frac{\sin (b)}{\cos (b)})}^{2} + 1}{\tan (b)}$

Schritt 3.2

Schreibe $\tan (b)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{{(\frac{\sin (b)}{\cos (b)})}^{2} + 1}{\frac{\sin (b)}{\cos (b)}}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (b)}{\cos (b)}$ an.

$\frac{\frac{\sin^{2} (b)}{\cos^{2} (b)} + 1}{\frac{\sin (b)}{\cos (b)}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\frac{{\sin (b)}^{2}}{{\cos (b)}^{2}} + 1) \frac{\cos (b)}{\sin (b)}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{\sin (b)}^{2}}{{\cos (b)}^{2}} \cdot \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + 1 \frac{\cos (b)}{\sin (b)}$

Schritt 4.3

Kombinieren.

$\frac{{\sin (b)}^{2} \cos (b)}{{\cos (b)}^{2} \sin (b)} + 1 \frac{\cos (b)}{\sin (b)}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ mit $1$ .

$\frac{{\sin (b)}^{2} \cos (b)}{{\cos (b)}^{2} \sin (b)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)}$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\sin (b)}{\cos (b)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)}$

Schritt 5

Addiere Brüche.

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Schritt 5.1

Um $\frac{\sin (b)}{\cos (b)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\sin (b)}{\cos (b)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)}$

Schritt 5.2

Um $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (b)}{\cos (b)}$ .

$\frac{\sin (b)}{\cos (b)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (b)}{\cos (b)}$

Schritt 5.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (b) \sin (b)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (b)}{\cos (b)}$ mit $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\sin (b) \sin (b)}{\cos (b) \sin (b)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (b)}{\cos (b)}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ mit $\frac{\cos (b)}{\cos (b)}$ .

$\frac{\sin (b) \sin (b)}{\cos (b) \sin (b)} + \frac{\cos (b) \cos (b)}{\sin (b) \cos (b)}$

Schritt 5.3.3

Stelle die Faktoren von $\sin (b) \cos (b)$ um.

$\frac{\sin (b) \sin (b)}{\cos (b) \sin (b)} + \frac{\cos (b) \cos (b)}{\cos (b) \sin (b)}$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (b) \sin (b) + \cos (b) \cos (b)}{\cos (b) \sin (b)}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\sin^{2} (b) + \cos^{2} (b)}{\cos (b) \sin (b)}$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos^{2} (b) + \sin^{2} (b)}{\cos (b) \sin (b)}$

Schritt 8

Betrachte nun die linke Seite der Gleichung.

$\frac{1}{\tan (b)} + \tan (b)$

Schritt 9

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 9.1

Schreibe $\tan (b)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\frac{\sin (b)}{\cos (b)}} + \tan (b)$

Schritt 9.2

Schreibe $\tan (b)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\frac{\sin (b)}{\cos (b)}} + \frac{\sin (b)}{\cos (b)}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \frac{\sin (b)}{\cos (b)}$

Schritt 11

Addiere Brüche.

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Schritt 11.1

Um $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (b)}{\cos (b)}$ .

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (b)}{\cos (b)} + \frac{\sin (b)}{\cos (b)}$

Schritt 11.2

Um $\frac{\sin (b)}{\cos (b)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (b)}{\cos (b)} + \frac{\sin (b)}{\cos (b)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)}$

Schritt 11.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sin (b) \cos (b)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ mit $\frac{\cos (b)}{\cos (b)}$ .

$\frac{\cos (b) \cos (b)}{\sin (b) \cos (b)} + \frac{\sin (b)}{\cos (b)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)}$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (b)}{\cos (b)}$ mit $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\cos (b) \cos (b)}{\sin (b) \cos (b)} + \frac{\sin (b) \sin (b)}{\cos (b) \sin (b)}$

Schritt 11.3.3

Stelle die Faktoren von $\sin (b) \cos (b)$ um.

$\frac{\cos (b) \cos (b)}{\cos (b) \sin (b)} + \frac{\sin (b) \sin (b)}{\cos (b) \sin (b)}$

Schritt 11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (b) \cos (b) + \sin (b) \sin (b)}{\cos (b) \sin (b)}$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\cos^{2} (b) + \sin^{2} (b)}{\cos (b) \sin (b)}$

Schritt 13

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\tan (b)} + \tan (b) = \frac{\sec^{2} (b)}{\tan (b)}$ ist eine Identitätsgleichung