Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{1 - \sin (x)} = \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan (x) \sec (x)$

Schritt 2.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x)$

Schritt 2.3

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3

Multipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1 + \sin (x)}{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

Schritt 6.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1}{1 - \sin (x)}$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{1 - \sin (x)} = \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$ ist eine Identitätsgleichung