Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 + \csc (x)}{1 - \csc (x)} + \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1 + \csc (x)}{1 - \csc (x)} + \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{1 + \frac{1}{\sin (x)}}{1 - \csc (x)} + \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{1 + \frac{1}{\sin (x)}}{1 - \frac{1}{\sin (x)}} + \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) - 1} + \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 4

Addiere Brüche.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) - 1} + \frac{1 + \sin (x)}{- 1 (- 1) - \sin (x)}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) - 1} + \frac{1 + \sin (x)}{- 1 (- 1) - (\sin (x))}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 1) - (\sin (x))$ heraus.

$\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) - 1} + \frac{1 + \sin (x)}{- 1 (- 1 + \sin (x))}$

Schritt 4.4

Bewege ein Minuszeichen des Nenners von $\frac{1 + \sin (x)}{- 1 (- 1 + \sin (x))}$ zum Zähler.

$\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) - 1} + \frac{- (1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)}$

Schritt 4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\sin (x) + 1}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- (1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)}$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x) + 1 - (1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) + 1 - 1 \cdot 1 - \sin (x)}{- 1 + \sin (x)}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 - 1 - \sin (x)}{- 1 + \sin (x)}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\sin (x)$ von $\sin (x)$ .

$\frac{0 + 1 - 1}{- 1 + \sin (x)}$

Schritt 5.3

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1 - 1}{- 1 + \sin (x)}$

Schritt 5.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{- 1 + \sin (x)}$

Schritt 6

Dividiere $0$ durch $- 1 + \sin (x)$ .

$0$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1 + \csc (x)}{1 - \csc (x)} + \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} = 0$ ist eine Identitätsgleichung