Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \sin (t)}{1 + \sin (t)} = {(\sec (t) - \tan (t))}^{2}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

${(\sec (t) - \tan (t))}^{2}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (t)$ an.

${(\frac{1}{\cos (t)} - \tan (t))}^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe $\tan (t)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

${(\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Schreibe ${(\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2}$ als $(\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$ um.

$(\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $(\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (t)} (\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Multipliziere $\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (t)}$ mit $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{\cos (t) \cos (t)} + \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.3.1.1.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{1} \cos (t)} + \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.3.1.1.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}} + \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\cos (t)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.3.1.2

Multipliziere $\frac{1}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$ .

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (t)}$ mit $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{\cos (t) \cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1} \cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.3.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.3.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.3.1.3

Multipliziere $- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)}$ .

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Schritt 2.3.3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (t)}$ mit $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{\cos (t) \cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.3.1.3.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1} \cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.3.1.3.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.3.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.3.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Schritt 2.3.3.1.4

Multipliziere $- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$ .

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Schritt 2.3.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + 1 \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 2.3.3.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 2.3.3.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ mit $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \cos (t)}$

Schritt 2.3.3.1.4.4

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{1} \sin (t)}{\cos (t) \cos (t)}$

Schritt 2.3.3.1.4.5

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{1} {\sin (t)}^{1}}{\cos (t) \cos (t)}$

Schritt 2.3.3.1.4.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{1 + 1}}{\cos (t) \cos (t)}$

Schritt 2.3.3.1.4.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{2}}{\cos (t) \cos (t)}$

Schritt 2.3.3.1.4.8

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{1} \cos (t)}$

Schritt 2.3.3.1.4.9

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}}$

Schritt 2.3.3.1.4.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.3.1.4.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Subtrahiere $\frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}}$ von $- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - 2 \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.4.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{- 2 \sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{2 \sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} + \frac{- 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $\sin (t)$ aus $- 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $\sin (t)$ aus $- 2 \sin (t)$ heraus.

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} + \frac{\sin (t) \cdot - 2 + \sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $\sin (t)$ aus $\sin^{2} (t)$ heraus.

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} + \frac{\sin (t) \cdot - 2 + \sin (t) \sin (t)}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $\sin (t)$ aus $\sin (t) \cdot - 2 + \sin (t) \sin (t)$ heraus.

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} + \frac{\sin (t) (- 2 + \sin (t))}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \sin (t) (- 2 + \sin (t))}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + \sin (t) \cdot - 2 + \sin (t) \sin (t)}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 3.3.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\sin (t)$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (t) + \sin (t) \sin (t)}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 3.3.3

Multipliziere $\sin (t) \sin (t)$ .

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Schritt 3.3.3.1

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 3.3.3.2

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 3.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 3.3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (t) + \sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.3.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 3.3.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 \sin (t) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (t)$

Schritt 3.3.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \sin (t) + \sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 3.3.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 1$ und $b = \sin (t)$ .

$\frac{{(1 - \sin (t))}^{2}}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 4

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{{(1 - \sin (t))}^{2}}{1 - \sin^{2} (t)}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{{(1 - \sin (t))}^{2}}{1^{2} - {\sin (t)}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (t)$ .

$\frac{{(1 - \sin (t))}^{2}}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(1 - \sin (t))}^{2}$ und $1 - \sin (t)$ .

$\frac{1 - \sin (t)}{1 + \sin (t)}$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1 - \sin (t)}{1 + \sin (t)} = {(\sec (t) - \tan (t))}^{2}$ ist eine Identitätsgleichung