Trigonometrie Beispiele

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x)) = 2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Schritt 2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(1^{2} - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \cos (x)$ .

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) (1 + 1 - \sin^{2} (x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$(1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- \cos (x)$ mit $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Schritt 4.2.1.4

Multipliziere $\cos (x) (- \cos (x))$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Schritt 4.2.1.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Schritt 4.2.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Schritt 4.2.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Schritt 4.2.2

Addiere $- \cos (x)$ und $\cos (x)$ .

$(1 + 0 - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Schritt 4.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$(1 - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Schritt 4.3

Addiere $1$ und $1$ .

$(1 - {\cos (x)}^{2}) (2 - {\sin (x)}^{2})$

Schritt 4.4

Multipliziere $(1 - {\cos (x)}^{2}) (2 - {\sin (x)}^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (2 - {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} (2 - {\sin (x)}^{2})$

Schritt 4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 2 + 1 (- {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} (2 - {\sin (x)}^{2})$

Schritt 4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 2 + 1 (- {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} \cdot 2 - {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

$2 - \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Bewege $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (1) - 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos^{2} (x)$ heraus.

$2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Schritt 5.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$2 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Schritt 5.6

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus $2 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus $2 \sin^{2} (x)$ heraus.

$\sin^{2} (x) \cdot 2 - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus $- \sin^{2} (x)$ heraus.

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Schritt 5.6.3

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ heraus.

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Schritt 5.6.4

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus $\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1$ heraus.

$\sin^{2} (x) \cdot (2 - 1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Schritt 5.6.5

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus $\sin^{2} (x) \cdot (2 - 1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ heraus.

$\sin^{2} (x) (2 - 1 + \cos^{2} (x))$

Schritt 5.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Schritt 5.8

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Schritt 5.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Schritt 5.10

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ als $- (1 - \cos^{2} (x))$ um.

$\sin^{2} (x) (2 - (1 - \cos^{2} (x)))$

Schritt 5.11

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sin^{2} (x) (2 - \sin^{2} (x))$

Schritt 5.12

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

Schritt 5.13

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin^{2} (x)$ .

$2 \cdot \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

Schritt 5.14

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Schritt 5.15

Multipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.15.1

Bewege $\sin^{2} (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))$

Schritt 5.15.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \sin^{2} (x) - {\sin (x)}^{2 + 2}$

Schritt 5.15.3

Addiere $2$ und $2$ .

$2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x)) = 2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$ ist eine Identitätsgleichung