Trigonometrie Beispiele

$(\csc (x) + \cot (x)) (1 - \cos (x)) = \sin (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$(\csc (x) + \cot (x)) (1 - \cos (x))$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)) (1 - \cos (x))$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \cos (x))$

Schritt 2.2

Multipliziere $(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sin (x)} (1 - \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \cos (x))$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} (- \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \cos (x))$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} (- \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Schritt 2.3.1.3

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Schritt 2.3.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$

Schritt 2.3.1.6

Multipliziere $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Schritt 2.3.1.6.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.3.1.6.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.3.1.6.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.3.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Schritt 2.3.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.3.2

Addiere $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + 0 - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.3.3

Addiere $\frac{1}{\sin (x)}$ und $0$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin^{2} (x)$ und $\sin (x)$ .

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x)}{1}$

Schritt 2.6.2.4

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x)$

Schritt 3

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$(\csc (x) + \cot (x)) (1 - \cos (x)) = \sin (x)$ ist eine Identitätsgleichung