Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)} = \frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$ mit $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 3

Kombinieren.

$\frac{\csc (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Schritt 5

Vereinfache Nenner.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

Schritt 5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 7.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \csc (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{\sin (x)}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 8.3

Multipliziere $\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Schritt 9

Schreibe $\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$ als $\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)}$ um.

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)}$

Schritt 10

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)} = \frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$ ist eine Identitätsgleichung