Trigonometrie Beispiele

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)} = \sin (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)}$

Schritt 2.1.3

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x))}{\csc (x)}$

Schritt 2.1.4

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\csc (x)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x)$

Schritt 2.4

Multipliziere $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Schritt 2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Schritt 2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

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Schritt 2.5.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ neu an.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Schritt 2.5.2

Addiere $- \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + 0 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Schritt 2.5.3

Addiere $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ und $0$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Schritt 2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1

Multipliziere $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Schritt 2.6.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Schritt 2.6.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Schritt 2.6.1.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Schritt 2.6.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Schritt 2.6.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

Schritt 2.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x)$

Schritt 2.6.3

Multipliziere $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 2.6.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

Schritt 2.6.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

Schritt 2.6.3.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

Schritt 2.6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

Schritt 2.6.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

Schritt 2.6.3.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \sin (x)$

Schritt 2.6.3.7

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \sin (x)$

Schritt 2.6.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \sin (x)$

Schritt 2.6.3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \sin (x)$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Schritt 2.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Schritt 2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Schritt 2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \sin (x)$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin (x)$

Schritt 3

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)} = \sin (x)$ ist eine Identitätsgleichung