Trigonometrie Beispiele

$(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) = 1 - 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$(\sin (x) - \cos (x)) \sin (x) + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 3.1.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

${\sin (x)}^{1} \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)$

Schritt 3.1.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

${\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} - \cos (x) \sin (x) + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)$

Schritt 3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \sin (x) + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)$

Schritt 3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

${\sin (x)}^{2} - \cos (x) \sin (x) + (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

${\sin (x)}^{2} - \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \cos (x)$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 3.1.4.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

${\sin (x)}^{2} - \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))$

Schritt 3.1.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

${\sin (x)}^{2} - \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})$

Schritt 3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sin (x)}^{2} - \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}$

Schritt 3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

${\sin (x)}^{2} - \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - {\cos (x)}^{2}$

Schritt 3.2

Addiere $- \cos (x) \sin (x)$ und $\cos (x) \sin (x)$ .

${\sin (x)}^{2} + 0 - {\cos (x)}^{2}$

Schritt 3.3

Addiere ${\sin (x)}^{2}$ und $0$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 4

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$1 - \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 5

Subtrahiere ${\cos (x)}^{2}$ von $- {\cos (x)}^{2}$ .

$1 - 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) = 1 - 2 \cos^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung