Trigonometrie Beispiele

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2} = 1 + \sin (2 t)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$ als $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ um.

$(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$

Schritt 2.2

Multipliziere $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (t) (\sin (t) + \cos (t)) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere $\sin (t) \sin (t)$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Schritt 2.3.1.1.2

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (t) \sin^{1} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Schritt 2.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sin (t)}^{1 + 1} + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Schritt 2.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $\cos (t) \cos (t)$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos^{1} (t) \cos (t)$

Schritt 2.3.1.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos^{1} (t) \cos^{1} (t)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + {\cos (t)}^{1 + 1}$

Schritt 2.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren von $\sin (t) \cos (t)$ um.

$\sin^{2} (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)$

Schritt 2.3.3

Addiere $\cos (t) \sin (t)$ und $\cos (t) \sin (t)$ .

$\sin^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)$

Schritt 2.4

Bewege $\cos^{2} (t)$ .

$\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t)$

Schritt 2.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + 2 \cos (t) \sin (t)$

Schritt 2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1

Stelle $2 \cos (t)$ und $\sin (t)$ um.

$1 + \sin (t) (2 \cos (t))$

Schritt 2.6.2

Stelle $\sin (t)$ und $2$ um.

$1 + 2 \cdot \sin (t) \cos (t)$

Schritt 2.6.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$1 + \sin (2 t)$

Schritt 3

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2} = 1 + \sin (2 t)$ ist eine Identitätsgleichung