Trigonometrie Beispiele

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.3

Multipliziere $(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ neu an.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.4.2

Addiere $- \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + 0 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.4.3

Addiere $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ und $0$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Multipliziere $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.5.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.5.1.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.5.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.5.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.5.3

Multipliziere $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.5.3.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.5.3.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.5.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.5.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.5.3.6

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.5.3.7

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.5.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.5.3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin^{2} (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \tan^{2} (x)$

Schritt 2.9

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 2.10

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \cos (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\cos (x)}^{2} + (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ ist eine Identitätsgleichung