Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1} = \cos^{2} (B)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\cot (B)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{{(\frac{\cos (B)}{\sin (B)})}^{2} - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1}$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (B)$ an.

$\frac{{(\frac{\cos (B)}{\sin (B)})}^{2} - \cos^{2} (B)}{{(\frac{1}{\sin (B)})}^{2} - 1}$

Schritt 2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (B)}{\sin (B)}$ an.

$\frac{\frac{\cos^{2} (B)}{\sin^{2} (B)} - \cos^{2} (B)}{{(\frac{1}{\sin (B)})}^{2} - 1}$

Schritt 2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (B)}$ an.

$\frac{\frac{\cos^{2} (B)}{\sin^{2} (B)} - \cos^{2} (B)}{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (B)} - 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${\sin (B)}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2}}{\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1}$ mit $\frac{{\sin (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}}$ .

$\frac{{\sin (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} \cdot \frac{\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2}}{\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{{\sin (B)}^{2} (\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} (\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1)}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{\sin (B)}^{2} \frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\sin (B)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{\sin (B)}^{2} \frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\sin (B)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere ${\cos (B)}^{2}$ aus ${\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere ${\cos (B)}^{2}$ aus ${\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})$ heraus.

$\frac{{\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\cos (B)}^{2} ({\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere ${\cos (B)}^{2}$ aus ${\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\cos (B)}^{2} ({\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))$ heraus.

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + {\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von ${\sin (B)}^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - 1 \cdot {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.3

Schreibe $- 1 {\sin (B)}^{2}$ als $- {\sin (B)}^{2}$ um.

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.4

Schreibe $1 - {\sin (B)}^{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.4.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1^{2} - {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (B)$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} ((1 + \sin (B)) (1 - \sin (B)))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.5.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von ${\sin (B)}^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 - 1 \cdot {\sin (B)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Schreibe $- 1 {\sin (B)}^{2}$ als $- {\sin (B)}^{2}$ um.

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 - {\sin (B)}^{2}}$

Schritt 3.5.4

Schreibe $1 - {\sin (B)}^{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.5.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1^{2} - {\sin (B)}^{2}}$

Schritt 3.5.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (B)$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{(1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \sin (B)$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{(1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - \sin (B))}{1 - \sin (B)}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - \sin (B)$ .

$\cos^{2} (B)$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1} = \cos^{2} (B)$ ist eine Identitätsgleichung