Trigonometrie Beispiele

\frac{\frac{1}{sin (x)} + 1}{\frac{1}{sin (x)} - 1} = {tan}^{2} (x) + 2 tan (x) sec (x) + {sec}^{2} (x)

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

{tan}^{2} (x) + 2 tan (x) sec (x) + {sec}^{2} (x)

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe

tan (x)

$\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

{(\frac{sin (x)}{cos (x)})}^{2} + 2 tan (x) sec (x) + {sec}^{2} (x)

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + 2 tan (x) sec (x) + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Schritt 2.3

Schreibe

tan (x)

$\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + 2 \frac{sin (x)}{cos (x)} sec (x) + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Schritt 2.4

Kombiniere

2

$2$ und

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{cos (x)} sec (x) + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Schritt 2.5

Schreibe

sec (x)

$\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{cos (x)} \cdot \frac{1}{cos (x)} + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Schritt 2.6

Multipliziere

\frac{2 sin (x)}{cos (x)} \cdot \frac{1}{cos (x)}

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere

\frac{2 sin (x)}{cos (x)}

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ mit

\frac{1}{cos (x)}

$\frac{1}{\cos (x)}$ .

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{cos (x) cos (x)} + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Schritt 2.6.2

Potenziere

cos (x)

$\cos (x)$ mit

1

$1$ .

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos}^{1} (x) cos (x)} + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Schritt 2.6.3

Potenziere

cos (x)

$\cos (x)$ mit

1

$1$ .

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos}^{1} (x) {cos}^{1} (x)} + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x)$

Schritt 2.6.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos (x)}^{1 + 1}} + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec^{2} (x)$

Schritt 2.6.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos}^{2} (x)} + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x)$

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos}^{2} (x)} + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x)$

Schritt 2.7

Schreibe

sec (x)

$\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos}^{2} (x)} + {(\frac{1}{cos (x)})}^{2}

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 2.8

Wende die Produktregel auf

\frac{1}{cos (x)}

$\frac{1}{\cos (x)}$ an.

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 2.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\frac{{sin}^{2} (x) + 2 sin (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Faktorisiere

sin (x)

$\sin (x)$ aus

{sin}^{2} (x) + 2 sin (x)

$\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere

sin (x)

$\sin (x)$ aus

{sin}^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ heraus.

\frac{sin (x) sin (x) + 2 sin (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere

sin (x)

$\sin (x)$ aus

2 sin (x)

$2 \sin (x)$ heraus.

\frac{sin (x) sin (x) + sin (x) \cdot 2}{{cos}^{2} (x)} + \frac{1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere

sin (x)

$\sin (x)$ aus

sin (x) sin (x) + sin (x) \cdot 2

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2$ heraus.

\frac{sin (x) (sin (x) + 2)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

\frac{sin (x) (sin (x) + 2)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\frac{sin (x) (sin (x) + 2) + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{sin (x) sin (x) + sin (x) \cdot 2 + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere

sin (x) sin (x)

$\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 4.3.2.1

Potenziere

sin (x)

$\sin (x)$ mit

1

$1$ .

\frac{{sin}^{1} (x) sin (x) + sin (x) \cdot 2 + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3.2.2

Potenziere

sin (x)

$\sin (x)$ mit

1

$1$ .

\frac{{sin}^{1} (x) {sin}^{1} (x) + sin (x) \cdot 2 + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3.2.3

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\frac{{sin (x)}^{1 + 1} + sin (x) \cdot 2 + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3.2.4

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\frac{{sin}^{2} (x) + sin (x) \cdot 2 + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

\frac{{sin}^{2} (x) + sin (x) \cdot 2 + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3.3

Bringe

2

$2$ auf die linke Seite von

sin (x)

$\sin (x)$ .

\frac{{sin}^{2} (x) + 2 \cdot sin (x) + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3.4

Schreibe

{sin}^{2} (x) + 2 sin (x) + 1

$\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.4.1

Es sei

u = sin (x)

$u = \sin (x)$ . Ersetze

u

$u$ für alle

sin (x)

$\sin (x)$ .

\frac{u^{2} + 2 u + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{u^{2} + 2 u + 1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3.4.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.3.4.2.1

Schreibe

1

$1$ als

1^{2}

$1^{2}$ um.

\frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3.4.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

2 u = 2 \cdot u \cdot 1

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 4.3.4.2.3

Schreibe das Polynom neu.

\frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3.4.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei

$a = u$ und

$b = 1$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3.4.3

Ersetze alle

$u$ durch

$\sin (x)$ .

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von

${(1 + \sin (x))}^{2}$ und

$1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 8

Schreibe

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ als

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$ um.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$

Schritt 9

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung