Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$

Schritt 2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 2.1

Ordne Terme um.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) + 1}$

Schritt 2.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) \frac{{\cos (x)}^{2}}{1^{2}}$

Schritt 4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) \frac{{\cos (x)}^{2}}{1}$

Schritt 4.3

Dividiere ${\cos (x)}^{2}$ durch $1$ .

$(1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) {\cos (x)}^{2}$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$1 {\cos (x)}^{2} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} {\cos (x)}^{2}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere ${\cos (x)}^{2}$ mit $1$ .

${\cos (x)}^{2} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} {\cos (x)}^{2}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\cos (x)}^{2}$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung