Trigonometrie Beispiele

$\frac{\csc^{2} (x) - 1}{\csc^{2} (x)} = \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\csc^{2} (x) - 1}{\csc^{2} (x)}$

Schritt 2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\cot^{2} (x)}{\csc^{2} (x)}$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}{\csc^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ an.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}$

Schritt 3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{1^{2}}$

Schritt 4.2

Kombinieren.

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{2}}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\sin (x)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{2}}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{1^{2}}$

Schritt 4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{1}$

Schritt 4.5

Dividiere ${\cos (x)}^{2}$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\csc^{2} (x) - 1}{\csc^{2} (x)} = \cos^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung