Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Schritt 2.3

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)}$

Schritt 2.4

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 2.6

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 2.7

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 2.8

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${\cos (x)}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$ mit $\frac{{\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} \cdot \frac{\frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{{\cos (x)}^{4} (\frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}})}{{\cos (x)}^{4} (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + {\cos (x)}^{4} (- \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}})}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\cos (x)}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1^{4} + {\cos (x)}^{4} (- \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}})}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\cos (x)}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$ in den Zähler.

$\frac{1^{4} + {\cos (x)}^{4} \frac{- {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1^{4} + {\cos (x)}^{4} \frac{- {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\cos (x)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere ${\cos (x)}^{2}$ aus ${\cos (x)}^{4}$ heraus.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\cos (x)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.4.1

Faktorisiere ${\cos (x)}^{2}$ aus ${\cos (x)}^{4}$ heraus.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe $1^{4}$ als ${(1^{2})}^{2}$ um.

$\frac{{(1^{2})}^{2} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Schreibe ${\sin (x)}^{4}$ als ${({\sin (x)}^{2})}^{2}$ um.

$\frac{{(1^{2})}^{2} - {({\sin (x)}^{2})}^{2}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1^{2}$ und $b = {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{(1^{2} + {\sin (x)}^{2}) (1^{2} - {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1^{2} - {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Schritt 3.4.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Faktorisiere ${\cos (x)}^{2}$ aus ${\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere ${\cos (x)}^{2}$ aus ${\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2}$ heraus.

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1^{2}) + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere ${\cos (x)}^{2}$ aus ${\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}$ heraus.

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1^{2}) + {\cos (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2})}$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere ${\cos (x)}^{2}$ aus ${\cos (x)}^{2} (1^{2}) + {\cos (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2})$ heraus.

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1^{2} + {\sin (x)}^{2})}$

Schritt 3.5.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1 + {\sin (x)}^{2})}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Schritt 5

Wandle in Sinus und Kosinus um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \tan^{2} (x)$

Schritt 5.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 5.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 5.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 9

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung