Trigonometrie Beispiele

$2 \csc^{2} (x) = \frac{1}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{1}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)}$

Schritt 2

Addiere Brüche.

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Schritt 2.1

Um $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)}$

Schritt 2.2

Um $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ mit $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ mit $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ um.

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \cos (x) + 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 + \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\cos (x)$ von $\cos (x)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 3.3

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 4

Vereinfache Nenner.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{2}{1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{2}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{2}{\sin^{2} (x)}$ als $2 \csc^{2} (x)$ um.

$2 \csc^{2} (x)$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 \csc^{2} (x) = \frac{1}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)}$ ist eine Identitätsgleichung