Trigonometrie Beispiele

$\cot (x) \csc (x) \tan^{2} (x) = \sec (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cot (x) \csc (x) \tan^{2} (x)$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan^{2} (x)$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \tan^{2} (x)$

Schritt 2.3

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 3.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Kombinieren.

$\frac{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos (x)$ und ${\cos (x)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ heraus.

$\frac{\cos (x) ({\sin (x)}^{2})}{{\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus ${\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ heraus.

$\frac{\cos (x) ({\sin (x)}^{2})}{\cos (x) ({\sin (x)}^{2} \cos (x))}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) ({\sin (x)}^{2} \cos (x))}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} \cos (x)}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 4

Schreibe $\frac{1}{\cos (x)}$ als $\sec (x)$ um.

$\sec (x)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cot (x) \csc (x) \tan^{2} (x) = \sec (x)$ ist eine Identitätsgleichung