Trigonometrie Beispiele

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x) = - \csc (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x)$

Schritt 2

Da $\cot (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\cot (- x)$ als $- \cot (x)$ .

$- \cot (x) \cos (- x) + \sin (- x)$

Schritt 3

Da $\cos (- x)$ eine gerade Funktion ist, schreibe $\cos (- x)$ als $\cos (x)$ .

$- \cot (x) \cos (x) + \sin (- x)$

Schritt 4

Da $\sin (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- x)$ als $- \sin (x)$ .

$- \cot (x) \cos (x) - \sin (x)$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) - \sin (x)$

Schritt 5.2

Multipliziere $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Schritt 5.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Schritt 5.2.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Schritt 5.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (x)$

Schritt 5.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Schritt 6

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$- \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} - \sin (x)$

Schritt 7.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (x)$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} - \sin (x)$

Schritt 7.2

Um $- \sin (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} - \sin (x) \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 7.3

Kombiniere $- \sin (x)$ und $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) - \sin (x) \sin (x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ heraus.

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x) \sin (x)$ heraus.

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - (\sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - (\sin (x) \sin (x))$ heraus.

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.2

Multipliziere $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{- (1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.3.1.2

Mutltipliziere $- \sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.3.1.3

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.3.1.4

Multipliziere $\sin (x) (- \sin (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.3.1.4.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.3.1.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.3.2

Addiere $- \sin (x)$ und $\sin (x)$ .

$\frac{- (1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.3.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.4

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.4.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} \sin (x))}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1 + 1})}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.5

Addiere $- {\sin (x)}^{2}$ und ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{- (1 + 0)}{\sin (x)}$

Schritt 7.5.6

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (x)}$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

Schritt 7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 8

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 9

Kombinieren.

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 \sin (x)}$

Schritt 10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{1 \sin (x)}$

Schritt 11

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

Schritt 12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 13

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$- \csc (x)$

Schritt 14

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 15

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x) = - \csc (x)$ ist eine Identitätsgleichung