Trigonometrie Beispiele

$\csc (u) - \cot (u) = \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ mit $\frac{1 - \cos (u)}{1 - \cos (u)}$ .

$\frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)} \cdot \frac{1 - \cos (u)}{1 - \cos (u)}$

Schritt 3

Kombinieren.

$\frac{\sin (u) (1 - \cos (u))}{(1 + \cos (u)) (1 - \cos (u))}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (u) \cdot 1 + \sin (u) (- \cos (u))}{(1 + \cos (u)) (1 - \cos (u))}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\sin (u)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (u) + \sin (u) (- \cos (u))}{(1 + \cos (u)) (1 - \cos (u))}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren in $\sin (u) + \sin (u) (- \cos (u))$ um.

$\frac{\sin (u) - \sin (u) \cos (u)}{(1 + \cos (u)) (1 - \cos (u))}$

Schritt 5

Vereinfache Nenner.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(1 + \cos (u)) (1 - \cos (u))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (u) - \sin (u) \cos (u)}{1 (1 - \cos (u)) + \cos (u) (1 - \cos (u))}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (u) - \sin (u) \cos (u)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (u)) + \cos (u) (1 - \cos (u))}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (u) - \sin (u) \cos (u)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (u)) + \cos (u) \cdot 1 + \cos (u) (- \cos (u))}$

Schritt 5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{\sin (u) - \sin (u) \cos (u)}{1 - \cos^{2} (u)}$

Schritt 6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin (u) - \sin (u) \cos (u)}{\sin^{2} (u)}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $\sin (u)$ aus $\sin (u) - \sin (u) \cos (u)$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (u) \cdot 1 - \sin (u) \cos (u)}{{\sin (u)}^{2}}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $\sin (u)$ aus $- \sin (u) \cos (u)$ heraus.

$\frac{\sin (u) \cdot 1 + \sin (u) (- \cos (u))}{{\sin (u)}^{2}}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $\sin (u)$ aus $\sin (u) \cdot 1 + \sin (u) (- \cos (u))$ heraus.

$\frac{\sin (u) (1 - \cos (u))}{{\sin (u)}^{2}}$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{1 - \cos (u)}{\sin (u)}$

Schritt 8

Betrachte nun die linke Seite der Gleichung.

$\csc (u) - \cot (u)$

Schritt 9

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 9.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (u)$ an.

$\frac{1}{\sin (u)} - \cot (u)$

Schritt 9.2

Schreibe $\cot (u)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\sin (u)} - \frac{\cos (u)}{\sin (u)}$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \cos (u)}{\sin (u)}$

Schritt 11

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\csc (u) - \cot (u) = \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ ist eine Identitätsgleichung