Trigonometrie Beispiele

$\cos (x - y) - \cos (x + y) = 2 \sin (x) \sin (y)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cos (x - y) - \cos (x + y)$

Schritt 2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y) - \cos (x + y)$

Schritt 3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y) - (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y))$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Da $\cos (- y)$ eine gerade Funktion ist, schreibe $\cos (- y)$ als $\cos (y)$ .

$\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (- y) - (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.2

Da $\sin (- y)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- y)$ als $- \sin (y)$ .

$\cos (x) \cos (y) - \sin (x) (- \sin (y)) - (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $- \sin (x) (- \sin (y))$ .

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos (x) \cos (y) + 1 \sin (x) \sin (y) - (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) - (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) - (\cos (x) \cos (y)) - (- \sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.5

Multipliziere $- (- \sin (x) \sin (y))$ .

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Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y) + 1 (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.5.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $\cos (x) \cos (y)$ von $\cos (x) \cos (y)$ .

$\sin (x) \sin (y) + 0 + \sin (x) \sin (y)$

Schritt 4.2.2

Addiere $\sin (x) \sin (y)$ und $0$ .

$\sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$

Schritt 4.3

Addiere $\sin (x) \sin (y)$ und $\sin (x) \sin (y)$ .

$2 \sin (x) \sin (y)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos (x - y) - \cos (x + y) = 2 \sin (x) \sin (y)$ ist eine Identitätsgleichung