Trigonometrie Beispiele

$\cos (y) \cos (x - y) - \sin (y) \sin (x - y) = \cos (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cos (y) \cos (x - y) - \sin (y) \sin (x - y)$

Schritt 2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$\cos (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) - \sin (y) \sin (x - y)$

Schritt 3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\cos (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $\cos (y) (\cos (x) \cos (y))$ .

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Schritt 4.1.2.1

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (y) \cos (y) \cos (x) + \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.2.2

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (y) \cos^{1} (y) \cos (x) + \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (y)}^{1 + 1} \cos (x) + \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (y) (\sin (x) \cos (y)) - \sin (y) (- \cos (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $- \sin (y) (- \cos (x) \sin (y))$ .

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) \cos (y) + 1 \sin (y) (\cos (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) \cos (y) + \sin (y) (\cos (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.4.3

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) \cos (y) + \sin^{1} (y) \sin (y) \cos (x)$

Schritt 4.1.4.4

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) \cos (y) + \sin^{1} (y) \sin^{1} (y) \cos (x)$

Schritt 4.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) \cos (y) + {\sin (y)}^{1 + 1} \cos (x)$

Schritt 4.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) \cos (y) + \sin^{2} (y) \cos (x)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) \cos (y) + \sin^{2} (y) \cos (x)$ .

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Schritt 4.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (y) \sin (x) \sin (y)$ und $- \sin (y) \sin (x) \cos (y)$ neu an.

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x) \sin (y) + \sin^{2} (y) \cos (x)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $\cos (y) \sin (x) \sin (y)$ von $\cos (y) \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos^{2} (y) \cos (x) + 0 + \sin^{2} (y) \cos (x)$

Schritt 4.2.3

Addiere $\cos^{2} (y) \cos (x)$ und $0$ .

$\cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (y) \cos (x)$

Schritt 4.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (y) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (y) \cos (x)$ heraus.

$\cos (x) \cos^{2} (y) + \sin^{2} (y) \cos (x)$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\sin^{2} (y) \cos (x)$ heraus.

$\cos (x) \cos^{2} (y) + \cos (x) \sin^{2} (y)$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \cos^{2} (y) + \cos (x) \sin^{2} (y)$ heraus.

$\cos (x) (\cos^{2} (y) + \sin^{2} (y))$

Schritt 4.4

Ordne Terme um.

$\cos (x) (\sin^{2} (y) + \cos^{2} (y))$

Schritt 4.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos (x) \cdot 1$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos (y) \cos (x - y) - \sin (y) \sin (x - y) = \cos (x)$ ist eine Identitätsgleichung