Trigonometrie Beispiele

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x) = 0$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x)$

Schritt 2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\cos (\frac{7 π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x)$

Schritt 3

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\cos (\frac{7 π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\cos (\frac{π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Schritt 4.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Schritt 4.1.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - - \sin (\frac{π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Schritt 4.1.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Schritt 4.1.6

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 4.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Schritt 4.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Schritt 4.1.7

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Schritt 4.1.8

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \sin (\frac{π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Schritt 4.1.9

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Schritt 4.1.10

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

Schritt 4.1.11

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (x)$

Schritt 4.1.12

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x)$

Schritt 4.1.13

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \cos (x) \sqrt{2} - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \cos (x) \sqrt{2} - \sin (x) \sqrt{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\sqrt{2} \cos (x)$ und $- \cos (x) \sqrt{2}$ neu an.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $\sqrt{2} \cos (x)$ von $\sqrt{2} \cos (x)$ .

$\frac{0 + \sqrt{2} \sin (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3.3

Addiere $0$ und $\sqrt{2} \sin (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3.4

Ordne die Faktoren in den Termen $\sqrt{2} \sin (x)$ und $- \sin (x) \sqrt{2}$ neu an.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x) - \sqrt{2} \sin (x)}{2}$

Schritt 4.3.5

Subtrahiere $\sqrt{2} \sin (x)$ von $\sqrt{2} \sin (x)$ .

$\frac{0}{2}$

Schritt 4.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$0$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x) = 0$ ist eine Identitätsgleichung