Trigonometrie Beispiele

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b) = \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b)$

Schritt 2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot \cos (a - b)$

Schritt 3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (- b) - \sin (a) \sin (- b))$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Da $\cos (- b)$ eine gerade Funktion ist, schreibe $\cos (- b)$ als $\cos (b)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (- b))$

Schritt 4.1.2

Da $\sin (- b)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- b)$ als $- \sin (b)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) (- \sin (b)))$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $- \sin (a) (- \sin (b))$ .

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) + 1 \sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\sin (a)$ mit $1$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.2

Multipliziere $(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$ .

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Schritt 4.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b))$ und $- \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b))$ neu an.

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $\cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b)$ von $\cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b)$ .

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + 0 - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.3.3

Addiere $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b))$ und $0$ .

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1

Multipliziere $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b))$ .

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Schritt 4.4.1.1

Potenziere $\cos (a)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.4.1.2

Potenziere $\cos (a)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos^{1} (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (a)}^{1 + 1} \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.4.1.5

Potenziere $\cos (b)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (a) (\cos^{1} (b) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.4.1.6

Potenziere $\cos (b)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (a) (\cos^{1} (b) \cos^{1} (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.4.1.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (a) {\cos (b)}^{1 + 1} - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.4.1.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.4.2

Multipliziere $- \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$ .

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Schritt 4.4.2.1

Potenziere $\sin (a)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - (\sin^{1} (a) \sin (a)) \sin (b) \sin (b)$

Schritt 4.4.2.2

Potenziere $\sin (a)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - (\sin^{1} (a) \sin^{1} (a)) \sin (b) \sin (b)$

Schritt 4.4.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - {\sin (a)}^{1 + 1} \sin (b) \sin (b)$

Schritt 4.4.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin (b) \sin (b)$

Schritt 4.4.2.5

Potenziere $\sin (b)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{1} (b) \sin (b))$

Schritt 4.4.2.6

Potenziere $\sin (b)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{1} (b) \sin^{1} (b))$

Schritt 4.4.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) {\sin (b)}^{1 + 1}$

Schritt 4.4.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Schritt 5

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$(1 - \sin^{2} (a)) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Schritt 6

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Schritt 7

Mutltipliziere ${\cos (b)}^{2}$ mit $1$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Schritt 8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- \sin^{2} (a)$ aus $- \sin^{2} (a) \cos^{2} (b)$ heraus.

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Schritt 8.2

Faktorisiere $- \sin^{2} (a)$ aus $- \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$ heraus.

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b))$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- \sin^{2} (a)$ aus $- \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b))$ heraus.

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b) + \sin^{2} (b))$

Schritt 8.4

Ordne Terme um.

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b) + \cos^{2} (b))$

Schritt 8.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cdot 1$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$

Schritt 10

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b) = \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$ ist eine Identitätsgleichung