Trigonometrie Beispiele

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1) = 2 \sec (x) + 5 \sin (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1)$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2) (2 \tan (x) + 1)$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

Schritt 2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$(\sin (x) + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

Schritt 2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$(\sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) (2 \tan (x) + 1)$

Schritt 2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\sin (x) + 2 \cos (x)) (2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\sin (x) + 2 \cos (x)) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Schritt 2.6

Multipliziere $(\sin (x) + 2 \cos (x)) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1) + 2 \cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Schritt 2.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1.1

Multipliziere $\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 2.7.1.1.1

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (2 \sin (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Schritt 2.7.1.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Schritt 2.7.1.1.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Schritt 2.7.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Schritt 2.7.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Schritt 2.7.1.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Schritt 2.7.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.7.1.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $2 \cos (x)$ heraus.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Schritt 2.7.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Schritt 2.7.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 2 (2 \sin (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1$

Schritt 2.7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 4 \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$

Schritt 2.7.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 4 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 2.7.2

Addiere $\sin (x)$ und $4 \sin (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 (1^{2} - {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 4.2

Um $5 \sin (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(2 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Schritt 4.4.3

Multipliziere $(2 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (1 - \cos (x)) + 2 \cos (x) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Schritt 4.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Schritt 4.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Schritt 4.4.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Schritt 4.4.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Schritt 4.4.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Schritt 4.4.4.1.4

Multipliziere $2 \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Schritt 4.4.4.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \cos (x) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Schritt 4.4.4.1.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 ({\cos (x)}^{1} \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Schritt 4.4.4.1.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Schritt 4.4.4.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Schritt 4.4.4.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Schritt 4.4.4.2

Addiere $- 2 \cos (x)$ und $2 \cos (x)$ .

$\frac{2 + 0 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Schritt 4.4.4.3

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Schritt 4.5

Um $2 \cos (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

$\frac{2 + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$2 \sec (x) + 5 \sin (x)$

Schritt 6

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$2 \frac{1}{\cos (x)} + 5 \sin (x)$

Schritt 7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + 5 \sin (x)$

Schritt 8

Schreibe $5 \sin (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{1}$

Schritt 9

Addiere Brüche.

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Schritt 9.1

Um $\frac{5 \sin (x)}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $\frac{5 \sin (x)}{1}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 9.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 10

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1) = 2 \sec (x) + 5 \sin (x)$ ist eine Identitätsgleichung