Trigonometrie Beispiele

$\cos (x) (\sec (x) + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x)) = \csc^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cos (x) (\sec (x) + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x))$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x))$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2})$

Schritt 2.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)})$

Schritt 2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)})$

Schritt 2.1.5

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.4

Multipliziere $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ als $\csc^{2} (x)$ um.

$\csc^{2} (x)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos (x) (\sec (x) + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x)) = \csc^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung