Trigonometrie Beispiele

$\sec^{4} (x) \tan^{2} (x) = (\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)) \sec^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$(\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)) \sec^{2} (x)$

Schritt 2

Faktorisiere $\tan^{2} (x)$ aus $\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$ heraus.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit $1$ .

$(\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{4} (x)) \sec^{2} (x)$

Schritt 2.2

Faktorisiere $\tan^{2} (x)$ aus $\tan^{4} (x)$ heraus.

$(\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)$

Schritt 2.3

Faktorisiere $\tan^{2} (x)$ aus $\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) \tan^{2} (x)$ heraus.

$\tan^{2} (x) (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)$

Schritt 3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 3.1

Ordne Terme um.

$\tan^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1) \sec^{2} (x)$

Schritt 3.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\tan^{2} (x) \sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 4

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 4.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 4.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sec^{2} (x)$

Schritt 4.3

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 4.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 4.6

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 5.2

Kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 5.3

Kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{2} \cdot 1}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 5.4

Multipliziere $1^{2}$ mit $1$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1

Bewege $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot (1 \cdot 1^{2})}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $1$ mit $1^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot (1^{1} \cdot 1^{2})}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{1 + 2}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 5.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{3}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 5.5

Multipliziere ${\cos (x)}^{2}$ mit ${\cos (x)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{3}}{{\cos (x)}^{2 + 2} {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 5.5.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{3}}{{\cos (x)}^{4} {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 5.6

Multipliziere ${\cos (x)}^{4}$ mit ${\cos (x)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{3}}{{\cos (x)}^{4 + 2}}$

Schritt 5.6.2

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1^{3}}{{\cos (x)}^{6}}$

Schritt 5.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cdot 1}{{\cos (x)}^{6}}$

Schritt 5.8

Mutltipliziere ${\sin (x)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{6} (x)}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{6} (x)}$ als $\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ um.

$\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sec^{4} (x) \tan^{2} (x) = (\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)) \sec^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung