Trigonometrie Beispiele

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x) = \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Schreibe $\sec^{4} (x)$ als ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\sec^{2} (x))}^{2} - \tan^{4} (x)$

Schritt 2.2

Schreibe $\tan^{4} (x)$ als ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\sec^{2} (x))}^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sec^{2} (x)$ und $b = \tan^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Schritt 2.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$(\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Schritt 2.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Schritt 2.4.4

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Schritt 2.4.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Schritt 2.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cdot 1$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Schritt 4

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 4.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)$

Schritt 4.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x) = \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung