Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sec (A) - \csc (A)}{\sec (A) + \csc (A)} = \frac{\tan (A) - 1}{\tan (A) + 1}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sec (A) - \csc (A)}{\sec (A) + \csc (A)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (A)$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (A)} - \csc (A)}{\sec (A) + \csc (A)}$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (A)$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)}}{\sec (A) + \csc (A)}$

Schritt 2.3

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (A)$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)}}{\frac{1}{\cos (A)} + \csc (A)}$

Schritt 2.4

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (A)$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)}}{\frac{1}{\cos (A)} + \frac{1}{\sin (A)}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (A) \sin (A)$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)}}{\frac{1}{\cos (A)} + \frac{1}{\sin (A)}}$ mit $\frac{\cos (A) \sin (A)}{\cos (A) \sin (A)}$ .

$\frac{\cos (A) \sin (A)}{\cos (A) \sin (A)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)}}{\frac{1}{\cos (A)} + \frac{1}{\sin (A)}}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{\cos (A) \sin (A) (\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)})}{\cos (A) \sin (A) (\frac{1}{\cos (A)} + \frac{1}{\sin (A)})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) (- \frac{1}{\sin (A)})}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (A)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $\cos (A)$ aus $\cos (A) \sin (A)$ heraus.

$\frac{\cos (A) (\sin (A)) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) (- \frac{1}{\sin (A)})}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) (- \frac{1}{\sin (A)})}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \sin (A) (- \frac{1}{\sin (A)})}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (A)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\sin (A)}$ in den Zähler.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{- 1}{\sin (A)}}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{- 1}{\sin (A)}}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (A)$ .

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $\cos (A)$ aus $\cos (A) \sin (A)$ heraus.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\cos (A) (\sin (A)) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Schritt 3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Schritt 3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\sin (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (A)$ .

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Schritt 3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\sin (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Schritt 3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\sin (A) + \cos (A)}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

$\frac{\sin (A) - \cos (A)}{\sin (A) + \cos (A)}$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$\frac{\sin (A) - \cos (A)}{\cos (A) + \sin (A)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{\sin (A) - \cos (A)}{\cos (A) + \sin (A)}$ als $\frac{\tan (A) - 1}{\tan (A) + 1}$ um.

$\frac{\tan (A) - 1}{\tan (A) + 1}$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sec (A) - \csc (A)}{\sec (A) + \csc (A)} = \frac{\tan (A) - 1}{\tan (A) + 1}$ ist eine Identitätsgleichung