Trigonometrie Beispiele

$\csc^{2} (y) - \csc (y) \cot (y) = \frac{1}{1 + \cos (y)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\csc^{2} (y) - \csc (y) \cot (y)$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $\csc (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{1}{\sin (y)})}^{2} - \csc (y) \cot (y)$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (y)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (y)} - \csc (y) \cot (y)$

Schritt 2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \csc (y) \cot (y)$

Schritt 2.4

Schreibe $\csc (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{1}{\sin (y)} \cot (y)$

Schritt 2.5

Schreibe $\cot (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{1}{\sin (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Schritt 2.6

Multipliziere $- \frac{1}{\sin (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ .

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ mit $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{\cos (y)}{\sin (y) \sin (y)}$

Schritt 2.6.2

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{\cos (y)}{\sin^{1} (y) \sin (y)}$

Schritt 2.6.3

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{\cos (y)}{\sin^{1} (y) \sin^{1} (y)}$

Schritt 2.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{\cos (y)}{{\sin (y)}^{1 + 1}}$

Schritt 2.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{\cos (y)}{\sin^{2} (y)}$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \cos (y)}{\sin^{2} (y)}$

Schritt 4

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 - \cos (y)}{1 - \cos^{2} (y)}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1 - \cos (y)}{1^{2} - {\cos (y)}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \cos (y)$ .

$\frac{1 - \cos (y)}{(1 + \cos (y)) (1 - \cos (y))}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - \cos (y)$ .

$\frac{1}{1 + \cos (y)}$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\csc^{2} (y) - \csc (y) \cot (y) = \frac{1}{1 + \cos (y)}$ ist eine Identitätsgleichung