Trigonometrie Beispiele

$\csc^{2} (x) - \cos (x) \sec (x) = \cot^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\csc^{2} (x) - \cos (x) \sec (x)$

Schritt 2

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + \cot^{2} (x) - \cos (x) \sec (x)$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - \cos (x) \sec (x)$

Schritt 3.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ an.

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos (x)$ heraus.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ als $\cot^{2} (x)$ um.

$\cot^{2} (x)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\csc^{2} (x) - \cos (x) \sec (x) = \cot^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung