Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} = 2 \csc (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

Schritt 2

Subtrahiere Brüche.

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Schritt 2.1

Um $\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ .

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

Schritt 2.2

Um $- \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ .

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ mit $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ .

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x))}{(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ mit $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ .

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x))}{(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))} - \frac{\sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ um.

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))} - \frac{\sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sec (x) (\csc (x) + \cot (x)) - \sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) (\csc (x) - \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) - \sec (x) (- \cot (x))}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $- \sec (x) (- \cot (x))$ .

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) + 1 \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\sec (x) \csc (x)$ von $\sec (x) \csc (x)$ .

$\frac{\sec (x) \cot (x) + 0 + \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 3.3

Addiere $\sec (x) \cot (x)$ und $0$ .

$\frac{\sec (x) \cot (x) + \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 3.4

Addiere $\sec (x) \cot (x)$ und $\sec (x) \cot (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 4

Vereinfache Nenner.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) \csc (x) + \cot (x) (- \cot (x))}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{2 \sec (x) \cot (x)}{1}$

Schritt 6

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 6.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)} \cot (x)}{1}$

Schritt 6.2

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Dividiere $2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ durch $1$ .

$2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 7.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 7.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{\sin (x)}$

Schritt 8

Schreibe $\frac{2}{\sin (x)}$ als $2 \csc (x)$ um.

$2 \csc (x)$

Schritt 9

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sec (x)}{\csc (x) - \cot (x)} - \frac{\sec (x)}{\csc (x) + \cot (x)} = 2 \csc (x)$ ist eine Identitätsgleichung